Subdivisions itératives d’arcs d’ellipses et d’hyperboles et application à la visualisation de cyclides de Dupin

Résumé

Plusieurs méthodes de subdivision existent pour construire des arcs de paraboles ou de cercles dans le plan affine euclidien usuel. Il est possible de construire des arcs de cercles à la règle et au compas, en restant dans l’espace affine en utilisant trois points pondérés et sans utiliser le concept de géométrie projective. Cette construction s’appuie sur les propriétés des courbes de Bézier rationnelles quadratiques. Cependant, lorsque la conique est un arc d’ellipse ou d’hyperbole, le calcul du poids est relativement compliqué. Comme l’équation de la conique est Q(x,y) = 1, pour simplifier ce problème, nous munissons le plan affine de la forme bilinéaire symétrique définie Q qui permet de manipuler la conique comme un cercle unitaire : les méthodes usuelles, connues dans le cas des cercles euclidiens, peuvent être alors adaptées. De plus, notre construction est régulière dans le sens où, à chaque étape, le point construit sur la conique appartient à la médiatrice principale du triangle isocèle pour notre pseudo-métrique. Se pose alors un problème lorsque les points extrémaux sont sur deux branches distinctes de l’hyperbole. Pour résoudre ce problème, nous utilisons le formalisme des points massiques et réalisons deux schémas de subdivision dont l’une des deux extrémités est un vecteur directeur de l’une des deux asymptotes, ces deux vecteurs étant opposés. De plus, à chaque étape, nous connaissons le point et la tangente à la conique
en ce même point. Ces algorithmes sont adaptés ensuite pour visualiser un maillage 3D d’une cyclide de Dupin réalisant une jointure G1 entre deux surfaces canal dans l’espace des sphères.