Maîtrise d'informatique - Module 18 Traitement du signal - Cours Chapitre 4 : 1. Qu'est-ce que le filtrage ? 2. Filtrage d'images numériques.

Les applications de la transformation de Fourier sont très nombreuses. Quel chercheur scientifique n'a pas eu besoin un jour de se servir de cet outil ? Nous avons choisi de présenter, dans ce dernier chapitre, l'application de la transformation de Fourier qui est peut-être la plus connue de toutes : le filtrage.

1. Qu'est-ce que le filtrage ?

1.1. Définitions.

1.1.a. Filtrage dans le domaine de Fourier.

On appelle "filtrage dans le domaine de Fourier" toute application qui, à un spectre , dit "spectre d'entrée", associe un spectre , dit "spectre de sortie", tel que, pour un réel w quelconque :

Remarques :

• L'argument complexe (on dit aussi "la phase") du spectre de sortie peut différer de l'argument complexe du spectre d'entrée, mais dans le cadre de ce cours, nous supposerons que ce n'est pas le cas.

• "A la sortie" d'un filtrage, on a au plus ce qu'on avait "en entrée" : voilà ce qui justifie le terme de "filtrage".

Exemple :

Choisissons comme spectre d'entrée le spectre de la fonction "fenêtre" f_F(t), déjà étudiée au chapitre 2, c'est-à-dire la fonction "sinus cardinal". Voici son graphe :



Prenons l'exemple d'un filtrage dans le domaine de Fourier, qui ne conserve du spectre d'entrée que son "lobe" central. Voici le graphe du spectre de sortie :

1.1.b. Autres définitions.

On appelle "filtrage" toute application qui, à un signal f_e(t), dit "signal d'entrée", associe un signal f_s(t), dit "signal de sortie", tel que le module du spectre de f_s(t) soit inférieur ou égal au module du spectre de f_s(t), pour w réel quelconque.

Remarque :

Le filtrage, pas plus que le filtrage dans le domaine de Fourier, ne sont des bijections, car ils font perdre de l'information.

Enfin, on appelle "filtre" un montage physique permettant de réaliser un filtrage particulier.

1.1.c. Filtrage et transformation de Fourier.

Le schéma suivant permet de mieux comprendre l'intérêt de la transformation de Fourier, pour ce qui est du filtrage :

1.2. Exemples.

1.2.a. Filtres optiques.

Les filtres les plus connus sont probablement les filtres optiques. La lumière blanche, par exemple celle du soleil, est composée de radiations électromagnétiques de toutes les fréquences, comme le montre le graphe suivant :

Un "filtre coloré" a comme propriété de ne laisser passer que certaines de ces radiations. Par exemple, un filtre vert ne laisse passer que les radiations de fréquences est "proches" du vert, comme le montre le graphe suivant :

D'autres filtres optiques ont comme rôle de ne pas laisser passer les radiations ultra-violettes (UV), qui peuvent être nocives pour la santé : c'est le cas notamment des "lunettes de soleil".

1.2.b. Filtres électroniques.

D'autres filtres également très connus sont ceux utilisés en électronique. Le son issu d'un lecteur musical est souvent corrompu par ce qu'on appelle du "souffle", correspondant à des vibrations de "hautes fréquences" (c'est-à-dire situées "dans l'aigu"), comme le montre le schéma suivant :

C'est pourquoi la plupart des lecteurs musicaux domestiques sont équipés d'un "système anti-souffle", qui est en fait un filtre éliminant les hautes fréquences. Sur le graphe suivant, on a représenté le spectre de sortie, dans lequel on a éliminé les hautes fréquences (car c'est là que se situe le souffle) :

Il reste bien sûr à espérer que cela ne déformera pas trop la musique !

1.3. Les quatre sortes de filtrages de base.

Il existe une nomenclature concernant quatre grandes catégories de filtrages, et ce quel que soit le domaine d'application. Ces quatre catégories sont les suivantes :

• Filtrage passe-bas :



Seule la partie du spectre située dans l'intervalle [-w_max,w_max] est conservée.

• Filtrage passe-haut :

Seule la partie du spectre située en dehors de l'intervalle [-w_min,w_min] est conservée.

• Filtrage passe-bande :

Seules les parties du spectre situées dans les intervalles [-w_max,-w_min] et [w_min,w_max] sont conservées.

• Filtrage coupe-bande :

Seules les parties du spectre situées en dehors des intervalles [-w_min,-w_max] et [w_max,w_min] sont conservées.

Remarque :

Parmi ces quatre grandes catégories de filtrages, les deux premières sont prééminentes, car en "combinant" judicieusement un filtrage passe-bas et un filtrage passe-haut, on peut réaliser des filtrages passe-bande ou coupe-bande. En effet :

• En faisant subir au signal d'entrée un filtrage passe-bas défini par la pulsation w_max, puis un filtrage passe-haut défini par la pulsation w_min, telle que w_min < w_max, tout se passe comme si on avait fait subir à ce signal un filtrage passe-bande défini par l'intervalle les pulsations w_min et w_max.

• En faisant subir au signal d'entrée, d'une part, un filtrage passe-bas défini par la pulsation w_max, et d'autre part, un filtrage passe-haut défini par la pulsation w_min, telle que w_min > w_max, puis en additionnant les deux signaux de sortie, tout se passe comme si on avait fait subir à ce signal un filtrage coupe-bande défini par les pulsations w_max et w_min.

Nous allons maintenant nous intéresser de plus près au filtrage d'images numériques, puisque c'est sur de tels signaux que portera la troisième et dernière séance de travaux pratiques.

2. Filtrage d'images numériques.

Dans ce paragraphe, nous allons illustrer le filtrage d'images numériques par deux exemples d'images de taille 256 x 256. Dans chaque exemple, l'origine du plan de Fourier se trouve au centre (la troisième séance de travaux pratiques montrera toute l'utilité de cette remarque).

2.1. Signal d'entrée 1 : image d'une grille.

Intéressons-nous à l'image d'une grille, et calculons son spectre (à l'aide de la transformation de Fourier discrète), qui a la même taille :

2.1.a. Filtrage 1.

Si l'on soumet ce spectre à un filtrage passe-bas le long de l'axe des w_x, on obtient le spectre de sortie et le signal de sortie (obtenu par transformation de Fourier discrète inverse) suivants :

On constate que les barreaux verticaux ont disparu ! Cela signifie que les variations en x du signal d'entrée correspondent à des valeurs élevées de w_x. De manière générale, on dira qu'un filtrage passe-bas adoucit les contours (ici, on peut même dire qu'il les annule).

2.1.b. Filtrage 2.

On peut bien sûr réaliser la même opération suivant l'axe des w_y :

2.1.c. Filtrage 3.

On peut enfin obtenir un résultat plus surprenant, en faisant subir au spectre de la grille un filtrage passe-bas le long de la diagonale principale du plan de Fourier, ce qui donne le spectre de sortie et le signal de sortie suivants :

On observe l'apparition de barreaux diagonaux, et la disparition de tous les barreaux initiaux de la grille !

On mesure sur ce premier exemple toute la variété des résultats que peuvent fournir différents filtrages d'un même signal. Remarquons que les trois filtrages précédents étaient pourtant tous des filtrages passe-bas.

2.2. Signal d'entrée 2 : image d'un morceau de papier déchiré.

Prenons comme deuxième exemple une image représentant un morceau de papier déchiré, et calculons son spectre (à l'aide de la transformation de Fourier discrète), qui a la même taille :

2.2.a. Filtrage 4.

En faisant subir à ce spectre un filtrage passe-haut en w_x et en w_y, on obtient le spectre de sortie et le signal de sortie suivants :

On observe que ce filtrage fait apparaître le contour. Cela signifie que les variations brutales du signal d'entrée (les contours) correspondent à des fréquences élevées. De manière générale, on dira qu'un filtrage passe-haut fait ressortir les contours. Un tel filtrage constitue donc un détecteur de contours, peu performant toutefois par rapport aux détecteurs de contours usuels (filtres de Sobel, ...).

2.2.b. Filtrage 5.

Si on applique le filtrage passe-bas complémentaire du précédent, on obtient le spectre de sortie et le signal de sortie suivants :

On retrouve ce qui avait déjà été vu avec l'exemple précédent, à savoir qu'un filtrage passe-bas estompe les contours.

Nous voici arrivés au terme de ce cours. Merci de l'avoir lu, et à bientôt peut-être !