Constructions euclidiennes, dans le plan affine, d'arcs de coniques propres par des I.F.S. affines non stationnaires

Résumé

Les coniques sont connues depuis l'Antiquité. Dans la seconde moitié du XXe siècle, P. Bézier a inventé des courbes permettant de décrire des arcs de coniques en considérant trois points pondérés. P. De Casteljau a proposé un algorithme permettant de créer ces courbes en utilisant deux concepts : le prisme fractal et/ou le prisme courbe de subdivision en utilisant des masques. Dans cet article, après avoir déterminé les éléments caractéristiques d'une conique propre (parabole, ellipse, hyperbole) définie par une courbe de Bézier quadratique sous forme quasi standard, nous proposons un algorithme permettant de représenter un arc de cercle en privilégiant l'aspect fractal de cette méthode, des algorithmes permettant de représenter un arc d'hyperbole ou d'ellipse non circulaire, en privilégiant l'aspect courbe de subdivision. Tous ces algorithmes s'appuient sur les propriétés barycentriques des courbes de Bézier et sur les propriétés géométriques des coniques propres. Dans tous les cas, nous construisons un polygone dont les sommets sont les points de la conique limite et un polygone dont les côtés sont les tangentes réelles à la conique limite aux sommets du polygone précédent. De plus, si le poids du point intermédiaire est constructible, les constructions issues de nos algorithmes peuvent être réalisées à la règle et au compas.